Ejercicio de Parcial UTN Limite

Hallar a,b $\in \mathbb{R}$ / $\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{}$ ($\frac{ax+b}{1-2x})^{-3x}$ =$e^-6$ .


Esto es parecido a :  $\lim_{x \to{}\infty}{}$ (1 +$\frac{1}{(   )})^{(   )} $ = e
entonces lo intentamos llevar a esa forma.


$\lim_{x \to{}\infty}{}$ $\frac{ax+b}{1-2x} \Rightarrow{\frac{\infty}{\infty}}$

Para salvarla dividimos por x numerador y denominador

$\lim_{x \to{}\infty}{}$$\frac{\frac{ax}{x}+\frac{b}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{2x}{x}} $



$\lim_{x \to{}\infty}{}$$\frac{a+\frac{b}{x}}{\frac{1}{x}-2} $


b/x $\Rightarrow{0}$ y 1/x $\Rightarrow{0}$

Igualamos a 1 asi queda $1^{\infty}$
$\frac{-a}{2} $ = 1

a=-2

$\lim_{x \to{}\infty}{}$  (1+$\frac{-2x+b}{1-2x}-1)^{-3x}$
desarrollando queda
$\lim_{x \to{}\infty}{}$  (1+$\frac{b-1}{1-2x})^{-3x}$
$\lim_{x \to{}\infty}{}$  (1+$\frac{1}{\frac{1-2x}{b-1}})^{-3x}$
y llevamos el  $\frac{1-2x}{b-1}$  al exponente asi queda igual y para no alterar la expresión dividimos por su inverso

$\lim_{x \to{}\infty}{}$  (1+$\frac{1}{\frac{1-2x}{b-1}})^{-3x (\frac{1-2x}{b-1})(\frac {b-1}{1-2x})}$   


y (1+$\frac{1}{\frac{1-2x}{b-1}})^{ (\frac{1-2x}{b-1})}$   
es el numero "e" (dejando afuera el -3x)


$\lim_{x \to{}\infty}{}$  $ e^{-3x  \frac{b-1}{1-2x}} $

y
$\lim_{x \to{}\infty}{}$  $\frac{3x}{1-2x}$ = $\frac{\infty}{\infty}$


dividiendo esta parte por x queda
$\lim_{x \to{}\infty}{}$  $\frac{3}{\frac{1}{x}-2}$  = $\frac{-3}{2}$


$e^{-(\frac{-3}{2} (b-1)} = e^{-6}$


y ahi igualando exponentes te termina quedando b = -3

Saludos